Das Dogma 

Ich möchte hier nicht die eigentlichen Dogmen beschreiben. Diese kann jeder bei Wikipedia unter dem Stichwort "Glaubensbekenntnis" und an vielen anderen Stellen nachlesen und mit den Aussagen der Bibel vergleichen.
(Eine Kopie des Athanasium mit Kommentaren (pdf) ist hier verfügbar.)

Der Wortlaut des Dogmas spielt erfahrungsgemäß im Glauben und in den Gesprächen der Christen so gut wie keine Rolle, abgesehen von einzelnen Bruchstücken, welche hin und wieder zitiert werden. Vielmehr baut sich jeder so sein Bild zusammen aus Fragmenten, die man irgendwann und irgendwo gehört hat. Allen gemeinsam ist die ungefähre Aussage, dass drei gleichzeitig nur einer ist (oder sind) nach der unlogischen Formel 1+1+1=1, und dass das eben ein Geheimnis (= Mysterium) sei. Auch die Begriffe Trinität, Dreieinigkeit, Dreieinheit, Dreifaltigkeit und weitere werden allermeist gleichbedeutend gebraucht, nur „Experten“ nehmen hier eine Unterscheidung vor.

Im Wesentlichen sind drei Vorstellungen von der Dreieinigkeit Gottes weit verbreitet, die sich im Grunde aber gegenseitig ausschließen bzw. in vielen Punkten widersprechen:

1. Gott zeigt sich mal als Vater, mal als Sohn, mal als Heiliger Geist, aber es ist immer derselbe eine Gott. 
Bild: Wasser: fest, flüssig, gasförmig (Fremdwort: Modalismus / Dreifaltigkeit)
Man redet in diesem Zusammenhang auch gern von verschiedenen Erscheinugsformen oder auch von Offenbarungsweisen Gottes. Dabei gibt es allerdings keinen Sohn Gottes im wörtlichen Sinn von Sohn.

2. Der Vater ist Gott, der Sohn ist Gott, der Heilige Geist ist Gott
Der Vater ist nicht der Sohn, der Sohn ist nicht der Heilige Geist, der heilige Geist ist nicht der Vater,
und doch sind sie  zusammen nur ein Gott.
Bild: gleichseitiges Dreieck und in der Mitte Gott (Fremdwort: Trinität, Dreieinigkeit)

3. Vater, Sohn und Heiliger Geist sind drei eigenständige Wesen, drei Gottheiten oder Heiligkeiten, die sich einig sind, aber unterschiedliche Aufgaben haben.
Bild: Team (Fremdwort: Tri-Theismus)

Die Grenzen zwischen den einzelnen Vorstellungen sind oft nicht ohne Weiteres erkennbar, was aber die meisten nicht stört, schließlich handele es sich hierbei um ein Geheimnis. Und zudem sei es uns Menschen nicht möglich, Gott zu verstehen. So stört man sich auch meist nicht daran, dass die Trinitätslehre in sich selbst widersprüchlich ist.

Gott jedoch sagt:

Jer 9,23 ... wer sich rühmt, rühme sich dessen: Einsicht zu haben und mich zu erkennen, dass ich der HERR bin, der Gnade, Recht und Gerechtigkeit übt auf der Erde; denn daran habe ich Gefallen, spricht der HERR.